Тема урока «Действия с числами, записанными в стандартном виде»
Алгебра · 8 класс · Открытие нового · 40 мин
Инжеватова С.Б.- учитель математики МБОУ «Степуринская СОШ»
Действия с числами, записанными в стандартном виде
Цели и задачи
• Цель: к концу урока ученики смогут представить малое число в стандартном виде и выполнить умножение, деление, сложение и вычитание чисел в стандартном виде, записывая коэффициент в диапазоне от 1 до 10 и проверяя порядок величины результата.
• Образовательная задача: вывести и применить правила действий с коэффициентами и степенями десяти при умножении и делении.
• Образовательная задача: научиться складывать и вычитать числа с разными степенями десяти, предварительно приводя их к одинаковой степени.
• Развивающая задача: анализировать порядок вычислений в составных
выражениях, оценивать правдоподобие результата и находить ошибки в записи стандартного вида.
• Воспитательная задача: развивать самостоятельность, точность вычислений и уважительное обсуждение разных способов решения.
Планируемые результаты
Личностные
• Ученик проявляет интерес к применению стандартной записи чисел для
описания больших и малых величин, например объёма данных или количества произведённых деталей.
• Ученик осознаёт ценность аккуратной записи вычислений для проверки результата и передачи информации другим.
• Ученик проявляет готовность самостоятельно выбирать уровень дополнительного задания и отвечать за принятое решение.
• Ученик корректно относится к иной стратегии вычисления и аргументирует собственную позицию без обесценивания ответа одноклассника.
Метапредметные
• Ученик выделяет в условии задачи известную величину, время работы и требуемый результат, затем выбирает подходящее действие.
• Ученик сопоставляет вычисления с результатами, проверяет соответствие коэффициента стандартному диапазону и исправляет несоответствующую запись.
• Ученик планирует последовательность решения составного выражения и контролирует промежуточные результаты.
• Ученик формулирует математический вывод в паре, приводит пример и использует точные обозначения степеней десяти.
Предметные
• Ученик знает, что стандартная запись положительного числа имеет вид , где , а — целое число.
• Ученик умеет представлять малые десятичные числа в стандартном виде, в том числе число .
• Ученик выполняет умножение и деление чисел в стандартном виде, отдельно вычисляя коэффициенты и складывая либо вычитая показатели степеней.
• Ученик складывает и вычитает числа в стандартном виде после приведения слагаемых к одинаковой степени десяти.
• Ученик решает текстовые задачи на общее количество данных или изделий и записывает результат в стандартном виде.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
• Соотносить изучаемые действия со стандартной записью чисел с задачами на хранение данных и производительность оборудования.
• Осознавать личный прогресс: отмечать, какие действия уже выполняются уверенно, а где ещё нужна проверка.
• Принимать ответственность за самостоятельный выбор базового или дополнительного задания.
• Поддерживать деловой и уважительный тон при обсуждении решения с партнёром.
Регулятивные УУД
• Формулировать цель урока через необходимость выбрать правило для разных действий с числами в стандартном виде.
• Планировать решение: определить действие, выполнить вычисления с коэффициентами и степенями, нормализовать ответ.
• Сверять полученный результат с условием стандартной записи и корректировать его при необходимости.
• Оценивать собственное выполнение по критериям точности вычислений, порядка действий и оформления ответа.
Познавательные УУД
• Извлекать математическую информацию из записей выражений и текстовых условий о производительности устройства.
• Сравнивать алгоритмы умножения, деления, сложения и вычитания, выделяя общее и различия.
• Моделировать сложение чисел с разными показателями через переход к одинаковой степени десяти.
• Обнаруживать ошибку в вычислении или нормализации результата и объяснять, как её исправить.
Коммуникативные УУД
• Слушать объяснение партнёра и задавать уточняющий вопрос о выборе правила или порядке действий.
• Кратко и последовательно объяснять ход вычисления, используя термины
«коэффициент» и «показатель степени».
• Согласовывать в паре ответ при сопоставлении выражений с результатами и приводить проверяемое обоснование.
• Участвовать в обсуждении ошибки, отделяя оценку математического шага от оценки человека.
Подготовка учителя к уроку
• Подготовить рабочий лист с десятью заданиями из запроса; распечатать по одному экземпляру на каждого ученика.
• Подготовить карточки для парной разминки с числами ,
и — по одной карточке на пару.
• Сделать отдельную карточку с текстовой задачей о двух принтерах — один экземпляр на парту; оставить на ней место для вычислений и проверки.
• Подготовить на доске или слайде напоминание: ; умножение —
коэффициенты перемножить, показатели сложить; деление — коэффициенты разделить, показатели вычесть; сложение и вычитание — сначала уравнять
степени.
• Подготовить два коротких примера с разными показателями для обсуждения: и .
• Подготовить слайд или запись на доске с условием задачи о записи данных: устройство записывает байтов за минуту и работает 15 минут.
• Подготовить три варианта карточек для самостоятельной работы: базовый — одно действие, основной — сумма или разность, повышенный — составное
выражение; по одному комплекту на ученика с возможностью выбора.
• Проверить наличие проектора или интерактивной доски, маркеров и таймера; при отсутствии проектора заранее записать примеры и правила на доске.
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить класс на работу и связать стандартную запись чисел с задачей о накоплении данных.
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
1 мин |
«Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что у вас готовы тетрадь, ручка и рабочий лист. Сегодня мы будем работать с числами, которые описывают очень большие и очень маленькие величины. Сегодня нам понадобится ещё умение внимательно читать степени десяти.
|
Проверяют принадлежности, записывают дату, занимают рабочие места. |
|
2 мин |
Учитель выводит на экран числа , и : "Посмотрите на экран. Такие записи неудобны для сравнения и вычислений. Где мы можем встретить подобные числа? Подумайте несколько секунд, обсудите ответ с соседом и поделитесь одной версией." Как выполнить данные записи короче? Вспомните материал прошлого урока. «Посмотрите на доску: там записано число . Как вы понимаете эту запись? Что в ней показывает число 2,4, а что — степень десяти? Сегодня нам важно не только получить ответ, но и выбрать для каждого действия подходящий способ. В конце урока вы сможете сами объяснить, почему сложение и умножение здесь требуют разных шагов.» |
Индивидуально называют область применения, затем обсуждают в парах и отвечают: "В физике, астрономии, биологии, информатике". Привести число к стандартному виду Называют коэффициент и степень десяти , формулируют предположение: «Стандартная запись помогает короче записать большое число». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что очень большие и очень малые величины встречаются в разных науках. Сегодня выясним, как выполнять с ними действия быстро, точно и понятно."
Цель этапа: восстановить смысл стандартной записи и выявить, какие действия с её компонентами ученики уже умеют выполнять.
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
2 мин |
«На доске два числа: и . Назовите в каждом коэффициент и показатель степени. Напомните условие, которому должен соответствовать коэффициент в стандартной записи. Подумайте десять секунд самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом. Я выслушаю несколько формулировок и зафиксирую точное правило.» |
Сначала думают индивидуально, затем обсуждают в паре; называют коэффициенты и , показатели и , формулируют условие . |
|
3 мин |
«Запишите устно, как представить и в стандартном виде. На сколько разрядов нужно перенести запятую, чтобы получить число от 1 до 10? Как при этом изменится показатель степени? "Объясните, куда перемещается запятая и почему показатель степени получает знак."
Проверим записи: 4,7 · 106, 0,8 · 104, 12 · 10 − 2.
|
Отвечают: = 3,2*10-7 «Запятую переносим вправо, показатель будет - »; = 1,5*108«Запятую переносим влево, показатель будет + »; проверяют умножением или обратным переносом и фиксируют, что утверждение верно. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: = 3,2*10-7 ; = 1,5*108 стандартная запись имеет вид , где .
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как определить коэффициент и показатель и как записать малое и большое число в стандартном виде . Но для суммы чисел
и простое сложение коэффициентов не сработает: выясним, в чём именно затруднение».
Цель этапа: обнаружить различие между правилами сложения и умножения и сформулировать план открытия способов вычислений.
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
2 мин |
Учитель показывает запись с ошибкой: : Согласны ли вы с решением? Не исправляйте сразу — назовите место затруднения."
«Сравните выражения на доске: и . Для первого выражения кто-то может предложить порядок решения? Можно ли ту же идею без изменений применить ко второму выражению? Как проверить, что ответ не стал в десять раз больше или меньше нужного?» |
Работают в парах, находят ошибку: "При сложении нельзя складывать показатели; сначала нужно привести слагаемые к одному порядку". Обсуждают в парах; предполагают, что при умножении можно действовать отдельно с коэффициентами и сте-пенями: перемножить коэффициенты и сложить показатели, а для сложения нужны одинаковые разряды; объясняют, что показатели нельзя просто сложить. |
|
2 мин |
«Сформулируйте, чему нам нужно научиться, чтобы решить весь наш рабочий лист. Какие случаи действий в нём встретятся? Составим маршрут: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, после этого составные выражения и зада-чи. Ваша задача — во время объяснения проверить каждый шаг на примерах из ли-ста и задать вопрос, если правило кажется неполным.» |
Предлагают цель: «Научиться выполнять действия с числами в стандартном виде и записывать ответ правильно»; перечисляют умножение, деление, сложение, вычитание и текстовую задачу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблему мы сформулировали: для умножения и деления можно действовать с коэффициентами и степенями
отдельно, а для сложения и вычитания требуется общий разряд. Проверим эти идеи на конкретных выражениях и выведем алгоритмы
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
2 мин |
«Рассмотрим выражение — это пример к заданию на умножение в рабочем листе. Сгруппируем коэффициенты отдельно, а степени десяти от-дельно. Для степеней с одинаковым основанием при умножении показатели складываются. После вычисления проверим, попадает ли коэффициент ответа в диапазон от 1 до 10. Запишите каждую строку, чтобы было видно, откуда взялся результат.» |
Записывают: ; объясняют, что коэффициент уже удовлетворяет условию стандартной записи. |
|
2 мин |
«Теперь разберём деление . Коэффициенты делим, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем: верхний минус нижний. Сначала вычислите результат в паре и проговорите порядок действий. За-тем проверьте, нужно ли нормализовать полученное число.» |
В паре получают ; называют результат стандартной записью. |
|
2 мин |
«Перейдём к сложению: . Нельзя складывать показатели или просто соединить коэффи- циенты: единицы разряда должны совпасть. Представим второе слагаемое как , сложим коэффициенты и проверим стандартный вид. Тот же прин- цип нужен для вычитания, в том числе когда показатель отрицательный.» |
Переписывают выражение как ; формулируют правило: «Пе-ред сложением и вычитани-ем приводим числа к одной степени десяти». |
Цель этапа: вывести и проговорить алгоритмы умножения, деления, сложения и вычитания чисел в стандартном виде на примерах рабочего листа.
|
Работа в парах «Составление алгоритмов»
Сложение и вычитание: привести числа к одному порядку, выполнить действие с коэффициентами, записать ответ в стандартном виде.
Умножение: перемножить коэффициенты и сложить показатели степеней.
Деление: разделить коэффициенты и вычесть показатели степеней.
Запись в тетрадях
• Умножение: ; затем привести коэффициент к стандартному виду.
• Деление: ; затем привести коэффициент к стандартному виду.
• Сложение и вычитание: привести числа к одинаковой степени десяти, выполнить действие с коэффициентами, проверить стандартный вид ответа.
Эталон решения
Умножение: . Деление: . Сложение: . Вычитание: .
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть четыре правила и важная проверка стандартного вида. Потренируемся выбирать нужное правило и объяснять решение, а затем применим его к рабочему листу без подсказки».
Этап 5. Первичное закрепление на примерах рабочего листа (7 мин)
Цель этапа: закрепить выбор правила, проговаривая ключевые шаги решения.
|
;
Эталон решения
. Далее
. Последний переход необходим,
потому что коэффициент меньше 1 и запись ещё не является стандартной.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили правила к реальному объёму данных и к выражению в несколько действий. Теперь каждый выберет
подходящий уровень самостоятельной практики и выполнит задания рабочего листа, сверяясь с алгоритмами в тетради».
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение правил на заданиях рабочего листа и дать ученикам возможность выбрать уровень поддержки.
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
1 мин |
«Откройте рабочий лист. Начните с задания на представление малого числа, затем выберите задания на умножение, деление или сложение и вычитание. Обязательный минимум для всех — выполнить задания 1, 4 и 7; далее выберите одно из заданий на сложение или вычитание и одну задачу с текстовым условием. Если хотите дополнительный вызов, переходите к составному выражению и задаче о двух принтерах. Выбор уровня не влияет на отношение к вашей работе — важно показать самостоя-тельный ход решения.» |
Отмечают выбранный марш-рут в листе: обязательный минимум, основной набор или дополнительный вызов; подписывают у себя зада- ния, с которых начинают. |
|
7 мин |
«Работайте самостоятельно, записывая промежуточные строки, а не только ответ. Я буду подходить и задавать вопросы: какое правило вы выбрали, почему здесь нужно уравнять степени, попадает ли коэффициент в диапазон от 1 до 10? Если возникло затруднение, поставьте рядом вопросительный знак и продолжите другое задание. Через семь минут на доске появятся контрольные ответы для самопроверки.» |
Решают выбранные задания рабочего листа: записывают , выпол-няют действия с коэффици-ентами и показателями, к задачам записывают выра-жения; отмечают места за-труднений знаком вопроса. |
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
3 мин |
«Сверьте ответы с контроль-ной записью на доске: для задания 1 — , для умножения из задания 4 — , для деления из за- дания 7 — , для суммы из задания 8 — , для разности из задания 9 — . Отметьте верные решения галочкой, а ошибку исправьте другим цветом. Не стирайте неверную по-пытку: по ней можно уви-деть, на каком шаге нужно изменить способ.» |
Сверяют только выполнен-ные задания, отмечают вер-ные ответы, исправляют ошибочную строку и подпи-сывают причину: «не урав-нял степени», «не нормали-зовал коэффициент» или «неверно вычел показатели при делении». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили не только ответы, но и ход вычислений, а это важнее случайного совпадения результата. Осталось применить несколько правил одновременно в задаче о двух принтерах и
оценить, какое правило уже стало устойчивым».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
|
|
Время |
Действие учителя |
Действие учеников |
|
2 мин |
«Сейчас билет на выход: запишите одним предложением ответ на вопрос: почему при умножении показатели степеней складывают, а при сложении чисел сначала уравнивают? Затем поставьте рядом с записью зелёный знак, если можете объяс-нить все четыре правила, жёлтый — если нужна под- сказка, красный — если пока трудно. Это не отметка, а способ понять, с чего начать следующий урок.» |
Пишут объяснение своими словами, например: «При умножении степеней с основанием 10 показатели скла-дываются; при сложении нужно сначала выразить числа в одинаковых едини-цах разряда»; показывают выбранный цвет или отмеча-ют его в тетради. |
Эталон решения
Первый принтер: . Второй принтер:
. Вместе:
деталей.
Критерии оценивания самостоятельной работы
• «5» — верно выполнены обязательные задания на запись малого числа, умножение и деление, а также задания на сложение или вычитание; в
составных выражениях соблюдён порядок действий, промежуточные шаги записаны, ответы приведены к стандартному виду.
• «4» — основная часть обязательных заданий выполнена верно; допускается
одна вычислительная ошибка или один пропуск нормализации коэффициента, при этом правило действия выбрано правильно.
• «3» — верно решена как минимум половина обязательных заданий; ученик
распознаёт нужное действие, но допускает ошибки при приведении степеней, вычислении коэффициентов или записи окончательного ответа.
Рефлексия «Плюс-минус-интересно»
Можно устно по кругу или письменно в таблице из трёх граф:
· «Плюс» — что понравилось, что оказалось полезным.
· «Минус» — что не понравилось, что осталось непонятным.
· «Интересно» — что было любопытным, какие вопросы возникли.
|
Вопрос для ученика |
Цель вопроса |
|
Какое правило вы теперь можете объяснить без подсказки: умножение, деление, сложе-ние или вычитание? |
Определить, какой способ действия ученик осознал и готов воспроизвести самостоя- тельно. |
|
На каком шаге в сложении или вычитании чисел с разными показателями вы останови-лись или ошиблись? |
Выявить затруднения при приведении чисел к одинаковой степени десяти. |
|
Вопрос для ученика |
Цель вопроса |
|
Что помогает проверить, что ответ записан именно в стандартном виде? |
Проверить понимание условия и навыка нормализации коэффициента. |
|
Какой уровень задания вы выбрали и что помогло вам сделать этот выбор? |
Оценить субъективную уверенность, само-стоятельность и готовность к дальнейшему усложнению. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились выполнять основные действия с числами, записанными в стандартном виде, и применили их к объёму данных и производительности
принтеров. Запомните главное различие: при умножении и делении действуем отдельно с коэффициентами и показателями, а при сложении и вычитании
сначала уравниваем степени. Частая ошибка — оставить коэффициент меньше 1 или не привести слагаемые к одной степени десяти; именно поэтому ответ
нужно проверять после вычислений. На следующем уроке мы продолжим использовать стандартную запись в задачах и потренируемся выбирать удобный способ вычислений.»
Домашнее задание Карточка с дифференцированными заданиями.
|
Уровень |
Что задать |
Зачем |
|
Базовый (обязательный) |
Выполнить 5 упражнений: представить малые числа в стандартном виде; решить по одному примеру на умно-жение, деление, сложение и вычитание чисел в стандарт-ном виде. В каждом реше- нии показать промежуточ-ный шаг и записать ответ в стандартном виде. |
Закрепить распознавание способа действия и аккурат-ное применение четырёх ал-горитмов; при проверке обратить внимание на знак показателя, приведение сте-пеней и диапазон коэффи- циента. |
|
Средний (повышающий) |
Решить 3 задачи в контексте объёма данных или произво-дительности оборудования: одну на умножение величи-ны на время, одну на сум- марный объём двух устройств и одну на состав-ное выражение с делением и вычитанием. |
Перенести правила в прак-тический контекст и контро-лировать порядок действий; проверить, записаны ли ве-личины и итоговые ответы в стандартном виде. |
|
Уровень |
Что задать |
Зачем |
|
Продвинутый (дополнитель-ный) |
Составить и решить соб- ственный пример на сложе-ние или вычитание чисел с разными показателями и со- ставное выражение, включа-ющее деление, а затем про-верить решения обратным действием или оценкой по-рядка величины. |
Развивать самостоятельное конструирование примеров, аргументацию выбранного алгоритма и проверку прав-доподобия ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое условие должно выполняться для коэффициента в стандартной записи? Что делаем с показателями при
умножении и делении? Почему перед сложением и вычитанием нужно привести числа к одинаковой степени десяти?»
